** Datation d'un parchemin

Méthode Datation au carbone 14

Le carbone 14 (`¹⁴\text{C}`) est un isotope radioactif naturellement présent dans tous les êtres vivants. Tant qu’un organisme est vivant, il échange du carbone avec l’environnement, maintenant une proportion constante de `¹⁴\text{C}`. À sa mort, ces échanges cessent et le `¹⁴\text{C}` commence à se désintégrer. 
Cette désintégration radioactive est un processus aléatoire, mais on peut la modéliser de manière déterministe par une loi exponentielle décroissante. La nombre d'atomes `N(t)` de carbone 14 restant à l’instant `t` (en années) suit l’équation différentielle suivante :
\(\dfrac{\text{d}N(t)}{\text{d}t}=-\lambda N(t)\) où \(\lambda\) est la constante de désintégration du carbone 14.

Énoncé

Des archéologues souhaitent estimer l'âge d'un parchemin qu'ils viennent de découvrir. Pour cela, ils utilisent la méthode de datation au carbone 14.

1. On note \(N_0 = N(0)\). Donner l'expression de `N(t)`, le nombre d'atomes de carbone 14 présents dans le parchemin, en fonction de `t`.
2. La demi-vie du carbone 14, c'est-à-dire la durée nécessaire pour que la moitié des atomes de carbone 14 se désintègrent, est de \(5\;730\) ans.
    a. Exprimer \(N(t_{\text{demi-vie}})\), le nombre d'atomes de carbone 14 au bout de \(5\;730\) ans, en fonction de \(N_0\).
    b. En utilisant les résultats précédents, déterminer la constante de désintégration du carbone 14.

Pour la suite de l'exercice, on prendra \(\lambda=1,2\times 10^{-4}\;\text{an}^{-1}\).
4. Les archéologues ont réussi, après un long travail, à déterminer que seuls \(28 ~\%\) des atomes de carbone 14 présents initialement ne s'étaient pas désintégrés. Déterminer l'âge du parchemin.